Question

【题目】已知函数，其中．

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若，是方程的两个不同的实数根，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上单调递增．；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）对函数求导，由定义域和已知即可判断的单调性；

（Ⅱ）根据已知条件列出等式，利用分析法证明即可．

解：（Ⅰ）由题知的定义域为，

，

由于，，所以恒成立，

故函数在上单调递增．

（Ⅱ）因为，是方程，

即方程的两个不同的实数根，

所以，所以，

证法一：设，

则，

可得，，

要证，

只需证，

只需证，

只需证，

只需证，

考虑到，

只需证．（*）

令，

则，

所以在上单调递减，

所以，

所以（*）式成立，所以原命题成立．

证法二：由，

得，

所以．（*）．

又要证，

只需证，

只需证，结合（*）式，

只需证，

设，只需证明，

构造函数，只需求证，

由于，则，

所以成立，所以得证．