Question

（本小题共16分）

已知数列各项均不为0，其前项和为，且对任意都有 （为大于1的常数），记f（n）．

（1）求；

（2）试比较与的大小（）；

（3）求证：（2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）

 

Answer 1

【答案】

 

（1）

（2），（）．

（3）略

【解析】解：（1） ∵，                     ①

∴．                                ②

②－①，得，即．

在①中令，可得．

∴是首项为，公比为的等比数列，．    ………　4分  

（2）．

f（n），                             

．

而，且，

∴，．

∴，（）．    …10分

（3） 由（2）知 ，

，（）．

∴当n时，．

，      

（当且仅当时取等号）．

另一方面，当n，时，

．

∵，∴．

∴,（当且仅当时取等号）．

∴．

（当且仅当时取等号）．

综上所述，2n-1）f（n）≤f（1）+f（2）+…+f（2n-1） ≤[1-（）^2n-1] （n∈N^*）