Question

【题目】在四棱锥中，平面是正三角形，与的交点为，又，点是的中点。

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）。

【解析】

试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理先证明平面，即可证明平面平面；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用利用向量法即可求出二面角的余弦值。

试题解析：（1）证明：在正三角形中，，在中，∵，易证，∴为中点，∵点是的中点，∴，∵面，∴，∵，∴，∵，∴，即，∵，∴平面，∴平面，又，∴平面。

（2）分别以直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如下图所示，

∴。

由（1）可知，为平面的一个法向量，，设平面的一个法向量为，则，即，令，解得，则平面的一个法向量为，，由题知二面角为锐二面角，∴二面角余弦值为。