Question

已知函数有如下性质：如果常数，那么该函数在上是减函数，在上是增函数。

（1）如果函数在上是减函数，在上是增函数，求的值。

（2）设常数，求函数的最大值和最小值；

（3）当是正整数时，研究函数的单调性，并说明理由。

Answer 1

解(1) 由已知得=4, ∴.

  (2) ∵∈[1,4], ∴∈[1,2],

     于是,当x=时, 函数f(x)=x+取得最小值2.

f(1)－f(2)=,

当1≤c≤2时, 函数f(x)的最大值是f(2)=2+；

当2≤c≤4时, 函数f(x)的最大值是f(1)=1+c.

(3)设,.

     当<x₁<x₂时, g(x₂)>g(x₁), 函数g(x)在[,+∞)上是增函数；

     当0<x₁<x₂<时, g(x2)>g(x1), 函数g(x)在(0, ]上是减函数.

     当n是奇数时,g(x)是奇函数,

函数g(x) 在(－∞,－]上是增函数, 在[－,0)上是减函数.

   当n是偶数时, g(x)是偶函数,

  函数g(x)在(－∞,－)上是减函数, 在[－,0]上是增函数.