Question

如图，已知正三角形ABC的边长为2，点D为边AC的中点，点E为边AB上离点A较近的三等分点，则

BD

•

CE

=

-1

．

Answer 1

分析：由题意选基向量，再由向量的加减法和数乘几何意义，用基向量表示出

BD

和

CE

，再由数量积的运算求出式子的值．

解答：解：由题意选基向量

AB

和

AC

，且|

AB

|=|

AC

|=2，它们的夹角为60°，
∴

BD

=

AD

-

AB

=

1

2

AC

-

AB

，

CE

=

AE

-

AC

=

1

3

AB

-

AC

，
∴

BD

•

CE

=（

1

2

AC

-

AB

）•（

1

3

AB

-

AC

）
=

1

6

AC

•

AB

-

1

2

AC

2-

1

3

AB

2+

AB

•

AC

=

7

6

AC

•

AB

-

1

2

AC

2-

1

3

AB

2
=

7

6

×2×2×

1

2

-

1

2

×4-

1

3

×4=-1，
故答案为：-1．

点评：本题考查向量数量积在几何中的应用，以及向量的加减法和数乘几何意义，解答关键是选基向量和利用向量数量积的运算性质，属于中档题．