Question

已知直线l过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，P为C的准线上一点，且S_△ABP=36，则过抛物线C的焦点的弦长的最小值是

12

．

Answer 1

分析：利用三角形的面积公式S_△PAB=

1

2

|AB|•hP=36，（h_P表示点P到直线AB的距离），解得p．．
由抛物线的性质可得：过抛物线C的焦点的弦长的最小值是2p．

解答：解：如图所示，
∵AB⊥x轴，且过焦点F(

p

2

，0)，点P在准线上．
∴S_△PAB=

1

2

|AB|•hP=

1

2

×2p×p=36，（h_P表示点P到直线AB的距离），解得p=6．
∴抛物线方程为y²=12x．
由抛物线的性质可得：过抛物线C的焦点的弦长的最小值是2p=12．
故答案为12．

点评：正确理解过抛物线的焦点弦中弦长最短的是抛物线的通径2p是解题的关键．