题目内容
设抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，A（x0，y0）（x0≠0）是抛物线C上的一定点．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
（1）已知直线l过抛物线C的焦点F，且与C的对称轴垂直，l与C交于Q，R两点，S为C的准线上一点，若△QRS的面积为4，求p的值；
（2）过点A作倾斜角互补的两条直线AM，AN，与抛物线C的交点分别为M（x1，y1），N（x2，y2）．若直线AM，AN的斜率都存在，证明：直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
分析：（1）设出F，Q，R的坐标，求出|QR|，利用△QRS的面积为4，可求p的值；
（2）求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0，另一种方法是导数法；求直线MN的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可求斜率，另一种方法是利用kAM=-kAN，确定斜率，从而可得结论．
（2）求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用判别式为0，另一种方法是导数法；求直线MN的斜率，一种方法是设直线方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及斜率公式，可求斜率，另一种方法是利用kAM=-kAN，确定斜率，从而可得结论．
解答：（1）解：由题设F(0，
)，设Q(x1，
)，则R(-x1，
)…（1分）
|QR|=
=2
=2
=2p．…（2分）
∴由△QRS的面积为4，得：
×2p×p=4，得：p=2．…（4分）
（2）证明：由题意A1（-x0，y0）…（5分）
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
解法一：设抛物线在A1处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x0）+y0…（6分）
联立
，消去y得x2-2pkx-2px0k-2py0=0
将2py0=x02代入上式得：x2-2pkx-2px0k-x02=0…（7分）
△=(-2pk)2+4(2px0k+x02)=0…（8分）
即p2k2+2px0k+x02=0，即(pk+x0)2=0，得k=-
．
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为-
．…（9分）
解法二：由x2=2py得y=
x2，…（6分）
∴y′=
…（7分）
∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1（-x0，y0）处的切线的斜率为-
．…（9分）
再求直线MN的斜率．
解法一：设直线AM的斜率为k1，则由题意直线AN的斜率为-k1．…（10分）
直线AM的方程为y-y0=k1（x-x0），则直线AN的方程为y-y0=-k1（x-x0）．
联立
，消去y得x2-2pk1x+2pk1x0-x02=0…（1）…（11分）
∵方程（1）有两个根x0，x1，∴△=(-2pk1)2-4(2px0k1-x02)＞0
∴x0，1=
，x0+x1=2pk1，即x1=2pk1-x0，同理可得x2=-2pk1-x0…（12分）
直线MN的斜率kMN=
=
=
=
=-
．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
解法二：∵kAM=-kAN…（10分）
∴
=-
…（11分）
将y0=
，y1=
，y2=
分别代入上式得：
=-
，
整理得2x0=x1+x2．…（12分）
∴直线MN的
斜率kMN=
=
=
=
=-
．…（13分）
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
| p |
| 2 |
|QR|=
(x1-(-x1))2+(
|
| x12 |
2p×
|
∴由△QRS的面积为4，得：
| 1 |
| 2 |
（2）证明：由题意A1（-x0，y0）…（5分）
首先求抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．
解法一：设抛物线在A1处的切线的斜率为k，则其方程为y=k（x+x0）+y0…（6分）
联立
|
将2py0=x02代入上式得：x2-2pkx-2px0k-x02=0…（7分）
△=(-2pk)2+4(2px0k+x02)=0…（8分）
即p2k2+2px0k+x02=0，即(pk+x0)2=0，得k=-
| x0 |
| p |
即抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率为-
| x0 |
| p |
解法二：由x2=2py得y=
| 1 |
| 2p |
∴y′=
| x |
| p |
∴抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1（-x0，y0）处的切线的斜率为-
| x0 |
| p |
再求直线MN的斜率．
解法一：设直线AM的斜率为k1，则由题意直线AN的斜率为-k1．…（10分）
直线AM的方程为y-y0=k1（x-x0），则直线AN的方程为y-y0=-k1（x-x0）．
联立
|
∵方程（1）有两个根x0，x1，∴△=(-2pk1)2-4(2px0k1-x02)＞0
∴x0，1=
2pk1±
| ||
| 2 |
直线MN的斜率kMN=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| ||||
| x2-x1 |
| x1+x2 |
| 2p |
| -2x0 |
| 2p |
| x0 |
| p |
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
解法二：∵kAM=-kAN…（10分）
∴
| y0-y1 |
| x0-x1 |
| y0-y2 |
| x0-x2 |
将y0=
| x02 |
| 2p |
| x12 |
| 2p |
| x22 |
| 2p |
| ||||
| x0-x1 |
| ||||
| x0-x2 |
整理得2x0=x1+x2．…（12分）
∴直线MN的
斜率kMN=
| y2-y1 |
| x2-x1 |
| ||||
| x2-x1 |
| x1+x2 |
| 2p |
| -2x0 |
| 2p |
| x0 |
| p |
∴直线MN的斜率等于抛物线C在点A关于对称轴的对称点A1处的切线的斜率．…（14分）
点评：本小题主要考查直线、抛物线、对称等知识，考查数形结合、化归与转化、方程的思想方法，考查数学探究能力以及运算求解能力．
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