Question

已知直线l过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点且与C的对称轴垂直，l与C交于A、B两点，P为C的准线上一点，且S_△ABP=36，则抛物线C的方程为

y²=16x

．

Answer 1

分析：用p表示抛物线的焦点坐标和准线方程，求出通径长，直接由桑侥幸的面积公式求p，则答案可求．

解答：解：抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点坐标为F（

p

2

，0），准线方程为x=-

p

2

．
与C的对称轴垂直的直线l与C交于A、B两点，则|AB|=2p．
又P为C的准线上一点，∴P到AB的距离为p．
则S_△ABP=

1

2

×2p×p=p2=36，∴p=6．
∴抛物线C的方程为y²=16x．
故答案为y²=16x．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，属中档题．