题目内容
【题目】如图，在三棱柱
中，侧面
底面
，四边形
为菱形，
是边长为2的等边三角形，
，点
为
的中点.
（1）若平面
与平面交于直线
，求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】(1) 证明见解析； （2）
【解析】
（1）由条件有
平面
，根据线面平行的性质可证.
（2）先证明
平面 ，然后建议空间直角坐标系，用向量法求二面角的余弦值.
（1） 证明：在三棱柱
中，
，
平面 .
所以平面，且
平面
平面
平面
所以
，所以
.
（2）由四边形
为菱形，且
所以
为等边三角形且点
为
的中点..
则
，又侧面
底面.
面
底面
.
所以平面.
又
是等边三角形，且点为的中点..
则
.
所以
.
以
分别为
轴建立空间直角坐标系,
所以
设面
的一个法向量为
.
则
，即
取
设面
的一个法向量为
.
则
，即
取
所以
.
所以二面角
的余弦值为.
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【题目】为考查某种疫苗预防疾病的效果，进行动物实验，得到统计数据如下表：
未发病 | 发病 | 合计 | |
未注射疫苗 | 40 |
|
|
注射疫苗 | 60 |
|
|
合计 | 100 | 100 | 200 |
现从所有试验动物中任取一只，取到“注射疫苗”动物的概率为
.
（1）求
列联表中的数据
的值；
（2）在图中绘制发病率的条形统计图，并判断疫苗是否有效？
（3）在出错概率不超过
的条件下能否认为疫苗有效？
附：
.
| 0.05 | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
