Question

（1）请你分别使用综合法和分析法证明不等式：2

2

-

7

＜

6

-

5

（2）请你分别说明用综合法和分析法证明的特点是什么．

Answer 1

考点：综合法与分析法(选修）

专题：推理和证明

分析：（1）①综合法从2

2

＞

6

，

7

＞

5

入手，可得2

2

+

7

＞

6

+

5

＞0，继而

1

2 2 + 7

＜

1

6 + 5

，整理即得结论成立；
②要证明2

2

-

7

＜

6

-

5

，只需证明使之成立的充分条件即可，直至40＜42，显然成立（充分条件找到）从而肯定结论成立．
（2）综合法证明的特点是“由因导果”，分析法证明的特点是“执果索因”．

解答： 证明：（1）①用综合法证：
∵2

2

=

8

＞

6

，

7

＞

5

，∴2

2

+

7

＞

6

+

5

＞0，
∴

1

2 2 + 7

＜

1

6 + 5

；又∵(2

2

-

7

)(2

2

+

7

)=1，(

6

-

5

)(

6

-

5

)=1，∴2

2

-

7

＜

6

-

5

．
②用分析法证明如下：
要证明2

2

-

7

＜

6

-

5

，只需证明，2

2

+

5

＜

6

+

7

，
只需证明(2

2

+

5

)2＜(

6

+

7

)2即2+4

10

+5＜6+2

42

+7，
只需证明2

40

＜2

42

，即40＜42，这显然成立．
这就证明了2

2

-

7

＜

6

-

5

．
（2）用综合法证明的特点是“由因导果”，即从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明．
用分析法证明的特点是“执果索因”．即从求证的结论出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等．

点评：本题考查综合法与分析法的特点及应用，熟练掌握综合法与分析法是解决问题的关键，属于中档题．