Question

已知点A，B分别为椭圆的右顶点和上顶点，点M满足，直线OM交椭圆于C，D两点，（O为坐标原点），△ABC和△ABD的面积分别记为S₁和S₂．
（1）若λ=1，求的值．
（2）当λ变化时，求的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，可求得M（，），直线OM的方程为y=x，与椭圆+=1联立可求得C，D两点的坐标，利用点到直线间的距离公式可求得C，D两点到直线AB的距离d与d′，从而可得的值；
（2）设M（x，y），同理可求得x=，y=及CD的方程，与椭圆方程联立可求得C，D两点的坐标，利用点到直线间的距离公式可求得C，D两点到直线AB的距离d与d′，从而可得的值．
解答：解：（1）∵A（a，0），B（0，b），λ=1，
∴=（λ＞0），即M为线段AB的中点，
∴M（，），
故直线OM的方程为y=x，与椭圆+=1联立，整理得x²=，
于是C（，），D（-，-）．
∵AB的方程为：+=1，即bx+ay-ab=0，
∴点C（，）到直线AB的距离d==，
同理可求D（-，-）到直线AB的距离d′=，
所以，===．
（2）设M（x，y），∵=λ（λ＞0），
∴（x，y-b）=λ（a-x，-y），
解得x=，y=，
∴CD的方程为y=x，由得：（1+λ²）x²=λ²a²，
∴x=±=±，
∴C（，），D（-，-），
设C（，）到直线AB的距离为d，则d=，
设D（-，-）到直线AB的距离为d′，则d′=，
∴===1-=1-
=1-
=1-（λ＞0），
∵λ＞0，故1+λ²≥2λ，于是0＜≤1，2＜1+≤1+，
2（-1）≤＜1，-1＜-≤2（1-），
∴0＜1-≤1+2（1-）=3-2（当且仅当λ=1时取等号）．
∴的取值范围是（0，3-2]．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查点到直线间的距离公式及三角形面积公式，考查转化思想与方程思想及综合运算能力，属于难题．