Question

【题目】数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.

（1）设 是首项为2，公差为2的等差数列，证明为“3阶可分拆数列”；

（2）设数列的前项和为，若数列为“阶可分拆数列”，求实数的值；

（3）设，试探求是否存在使得若数列为“阶可分拆数列”．若存在，请求出所有，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）或3.

【解析】试题分析：

(1)利用题中所给的新定义内容结合等差数列的通项公式即可证得结论；

(2)由题意整理计算可得；

(3)假设实数m存在，讨论可得或3.

试题解析：

（1）由题意可知

，所以

所以为“3阶可分拆数列”；

因为数列的前项和为

当时，；当时，

所以

因为存在正整数得成立

当时即

因为，

所以，而所以不存在正整数（）使得成立

当时，得

所以时存在正整数使得成立

由得.

假设存在使得若数列为“阶可分拆数列”

即存在确定的正整数，存在正整数使得成立

当时，，时方程成立

当时

当时；当时

当时，所以不存在正整数使得成立

当时，当时成立

④当时

所以不存在正整数使得成立

综上：或3.