Question

若直线y=kx-1与椭圆

x2

4

+

y2

a

=1相切，则a的取值范围

 

，k的取值范围

 

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：直线y=kx-1，恒过点（0，-1），直线y=kx-1与椭圆

x2

4

+

y2

a

=1相切，可判断点（0，-1）在椭圆外，可求得a的范围．
根据方程组的解判断k的范围．

解答： 解：（1）∵直线y=kx-1，恒过点（0，-1），直线y=kx-1与椭圆

x2

4

+

y2

a

=1相切，
∴点（0，-1）在椭圆外，即

1

a

＞1，a∈（0，1]
（2）联立方程组得：（a+4k²）x²-8kx4-4a=0，
△=64k²a+16a²-16a=0，
a=1-4k²，即0＜1-4k²＜1，
解得：-

1

2

＜k＜

1

2

，
所以实数a的取值范围 （0，1]，k的取值范围(-

1

2

，

1

2

)，
故答案为：（0，1]，(-

1

2

，

1

2

)，

点评：本题综合考查了，点，直线与椭圆的位置关系，结合方程，不等式，求解．