Question

已知正方形的中心在原点，四个顶点都在函数图象上．

（1）若正方形的一个顶点为，求，的值，并求出此时函数的单调增区间；

（2）若正方形唯一确定，试求出的值．

Answer 1

⑴因为，所以，因此，

   所以函数的图象在点处的切线方程为，…………………………2分

   由得，由，得．…4分

⑵因为，

所以，由题意知在上有解，

因为，设，因为，

则只要解得，

所以b的取值范围．………………………………………………………………8分

⑶不妨设．因为函数在区间上是增函数，所以，

函数图象的对称轴为，且，

（ⅰ）当时，函数在区间上是减函数，所以，

所以等价于，

即，

等价于在区间上是增函数，

等价于在区间上恒成立，

等价于在区间上恒成立，

所以，又，

所以；………………………………………………………………………………………10分

（ⅱ）当时，函数在区间上是减函数，在上为增函数．

①当时，

等价于，

等价于在区间上是增函数，

等价于在区间上恒成立，

等价于在区间上恒成立，

所以，又，

所以；……………………………………………………………………………12分

②当时，

等价于，

等价于在区间上是增函数，

等价于在区间上恒成立，

等价于在区间上恒成立，

所以，故．………………………………………………………………14分

③当时，

由图象的对称性知，只要对于①②同时成立，那么对于③，

则存在，

使恒成立；

或存在，

使恒成立．

因此，．

综上，b的取值范围是．……………………………………………………16分