题目内容
已知点A（a，0）（a＞4），点B（0，b）（b＞4），直线AB与圆x2+y2-4x-4y+3=0相交于C、D两点，且|CD|=2．（1）求（a-4）（b-4）的值；
（2）求线段AB的中点的轨迹方程；
（3）求△AOM的面积S的最小值．
分析：（1）利用|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，从而可得
=2，再进行化简即可；
（2）设M中点，（x，y），则
，结合（1），化简可得；
（3）将面积表示为S△AOM=
a•
=
(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6，再利用基本不等式求解．
| |2b+2a-ab| | ||
|
（2）设M中点，（x，y），则
|
（3）将面积表示为S△AOM=
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
解答：解：（1）直线AB的方程为
+
=1，其与已知圆相交，且|CD|=2，得圆心到直线AB的距离d=2，即
=2．化简得ab+8-4a-4b=0，故（a-4）（b-4）=8．
（2）设M（x，y），则
，由（1）得（2x-4）（2y-4）=8，（x-2）（y-2）=2（x＞2，y＞2）为所求轨迹方程．--（8分）（x，y范围只写一个也行没写扣1分）
（3）S△AOM=
a•
=
(4a+4b-8)=a+b-2=(a-4)+(b-4)+6≥2
+6=4
+6．
当且仅当a=b=4+2
时面积取最小值6+4
．
| x |
| a |
| y |
| b |
| |2b+2a-ab| | ||
|
（2）设M（x，y），则
|
（3）S△AOM=
| 1 |
| 2 |
| b |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| (a-4)(b-4) |
| 2 |
当且仅当a=b=4+2
| 2 |
| 2 |
点评：本题主要考查了直线与圆的综合问题，考查中点坐标公式及利用基本不等式求最值．
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| A、y=0（-1≤x≤1） | B、y=0（x≥1） | C、y=0（x≤-1） | D、y=0（|x|≥1） |
B.
D.