Question

（2012•湖北模拟）已知x、y是正实数，满足x2+y2=1，则

1

x

+

1

y

的最小值为（　　）

• A．

  3 5

  2

• B．

  2

• C．

  5

• D．2

  2

Answer 1

分析：令z=

1

x

+

1

y

＞0，利用基本不等式求得 z²≥4+

2

xy

，当且仅当x=y时，等号成立．而由x²+y²=1可得 

1

xy

≥2，当且仅当x=y时，等号成立．故z²≥8，
由此可得

1

x

+

1

y

的最小值．

解答：解：∵x²+y²=1，x、y是正实数，令z=

1

x

+

1

y

＞0，
则 z²=

1

x2

+

1

y2

+

2

xy

=

x2+ y2

x2

+

x2+ y2

y2

+

2

xy

=2+

y2

x2

+

x2

y2

+

2

xy

≥4+

2

xy

，当且仅当x=y时，等号成立．
而由x²+y²=1可得 1≥2xy，即 

1

xy

≥2，当且仅当x=y时，等号成立．
故z²≥4+4=8，∴z≥2

2

，当且仅当x=y时，等号成立．
故

1

x

+

1

y

的最小值为 2

2

，
故选D．

点评：本题主要考查基本不等式的应用，注意检验等号成立的条件，属于中档题．