题目内容

8．如图，△ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且∠ABD=38°，∠CBD=68°，∠BCE=14°，∠DCE=8°，求∠DAE的度数．

分析 设∠DAE=α，由已知可得CD：AD=tanα：tan8°=tan52°：tan22°，利用两角和与差的正切公式，及正切的三倍角公式，诱导公式，可得答案．

解答 解：∵△ABC中，BD⊥AC于D，E为BD上一点，且∠ABD=38°，∠CBD=68°，∠BCE=14°，∠DCE=8°，
设∠DAE=α，
则DE=tan8°•CD=tanα•AD，BD=tan（14°+8°）•CD=tan（90°-38°）•AD，
即tan8°•CD=tanα•AD，tan22°•CD=tan52°•AD，
∴CD：AD=tanα：tan8°=tan52°：tan22°，
tanα=$\frac{tan52°•tan8°}{tan22°}$=$\frac{tan（30°+22°）•tan（30°-22°）}{tan22°}$=$\frac{\frac{\frac{1}{3}-{tan}^{2}22°}{1-\frac{1}{3}{tan}^{2}22°}}{tan22°}$=$\frac{\frac{1}{3}-{tan}^{2}22°}{tan22°-\frac{1}{3}{tan}^{3}22°}$=$\frac{1}{\frac{tan22°-\frac{1}{3}{tan}^{3}22°}{\frac{1}{3}-{tan}^{2}22°}}$=$\frac{1}{\frac{3tan22°-{tan}^{3}22°}{1-3{tan}^{2}22°}}$=$\frac{1}{tan（3×22°）}$=cot66°=tan24°，
∴α=24°

点评 本题考查的知识点是两角和与差的正切公式，及正切的三倍角公式，诱导公式，本题难度较大．

练习册系列答案
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18．$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{（3-a）x+1\\;x＜1}\\{{a}^{x}\\;x≥1}\end{array}\right.$，满足对任意x1≠x2，都有$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0成立，那么a的取值范围是（　　）
A．（1，3）B．（1，2]C．[2，3）D．（1，+∞）
19．下列四个命题：
（1）函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，在（-∞，0）上也单调递增，所以f（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上是增函数；
（2）若函数f（x）=ax2+bx+2与x轴没有交点，则b2-8a＜0；
（3）符合条件{1}⊆A⊆{1，2，3}的集合A有4个；
（4）函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx-{x}^{2}+2x（x＞0）}\\{4x+1（x≤0）}\end{array}\right.$有3个零点．
其中正确命题的序号是（3）（4）．
16．为了对某课题进行研究，用分层抽样的方法从三所高校A、B、C的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见表（单位：人）
高校相关人数抽取人数
A151
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（Ⅰ）求x，y；
（Ⅱ）若从高校B、C抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自高校C的概率．
3．下列各式：
（1）${[{（-\sqrt{2}）^{-2}}]^{-\frac{1}{2}}}=-\sqrt{2}$；
（2）已知loga$\frac{2}{3}$＜1，则$a＞\frac{2}{3}$；
（3）函数y=2x的图象与函数y=-2-x的图象关于原点对称；
（4）函数f（x）=$\frac{1}{{\sqrt{m{x^2}+mx+1}}}$的定义域是R，则m的取值范围是0＜m＜4；
（5）函数y=ln（-x2+x）的递增区间为（-∞，$\frac{1}{2}$]．
正确的有（3）．（把你认为正确的序号全部写上）
13．点P（-1，2，3）关于zOx平面对称的点的坐标是（　　）
A．（1，2，3）B．（-1，-2，3）C．（-1，2，-3）D．（1，-2，-3）
20．袋中有大小相同的红色、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸3次，计算下列事件的概率．
（1）基本事件的个数；
（2）3次颜色恰有2次同色；
（3）3次颜色全相同．
17．函数f（x）=x3+x-1在下列哪个区间内有零点？（　　）
A．（-1，0）B．（1，2）C．（0，1）D．（2，3）
18．函数f（x）=$\frac{x-a}{lnx}$的图象总在函数F（x）=$\sqrt{x}$的图象上方，求实数a的取值范围．

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