Question

已知椭圆C:的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线与椭圆C交于A、B两点，以弦为直径的圆过坐标原点，试探讨点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）是定值，定值为．

【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的离心率为 ，短轴一个端点到右焦点的距离为，建立方程组，即可求椭圆C的方程；（2）分类讨论，①当轴时，得②当与轴不垂直时，设直线的方程为．联立，得，利用韦达定理，及以AB弦为直径的圆过坐标原点O，则有，得，再利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

【解析】
（1）设椭圆的半焦距为，依题意 ，

所求椭圆方程为．

（2）设，．

①当轴时，设方程为：，此时两点关于轴对称，

又以为直径的圆过原点，设代人椭圆方程得：

②当与轴不垂直时，

设直线的方程为．联立，

整理得，

，．

又。

由以为直径的圆过原点，则有。 即： 故满足： 得：

所以=。又点到直线的距离为： 。

综上所述：点到直线的距离为定值．

考点：1．直线与圆锥曲线的关系；2．椭圆的标准方程．