Question

如图：在四棱锥中，底面是正方形，，，点在上，且.

（Ⅰ）求证：平面；   

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段上存在点，使∥平面，并求的长.

Answer 1

解：（Ⅰ）证明：，，

，同理

又，平面.

（Ⅱ）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，

则

平面的法向量为，

设平面的法向量为               

，由，，取 ，

设二面角的平面角为

，二面角的余弦值为.

（Ⅲ）假设存在点，使∥平面，

令，

 由∥平面，，解得

存在点为的中点，即.