Question

已知α为锐角，且tan(

π

4

+α)=-(2+

3

)．
（I）求tanα的值；
（II） 求函数f（x）=sinαcos2x-cosαsin2x（x∈[0，

π

2

]）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用两角和的正切个数将已知等式展开，通过解方程求出tanα的值；
（II）利用两角差的正弦公式化简函数f（x），先根据0≤x≤

π

2

，得到-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．，根据正弦函数的单调性求出f（x）的最值．

解答：解：（I）由tan(

π

4

+α)=

1+tanα

1-tanα

=-(2+

3

)
解得tanα=

3

；
（II）由（I）知tanα=

3

；
又因为α为锐角，
所以α=

π

3

．
∴f（x）=sinαcos2x-cosαsin2x
=sin

π

3

cos2x-cos

π

3

sin2x
=-sin(2x-

π

3

)．
因为0≤x≤

π

2

，
所以-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

．
所以当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，f（x）有最小值-1，
当2x-

π

3

=-

π

3

，即x=0时，f（x）有最大值

3

2

．

点评：本题考查两角和、差的三角函数公式、利用三角函数的单调性求函数的最值，要注意函数的定义域．