Question

已知函数f（x）=

5

a

x+

5 (a-1)

x

，（x≠0）（a≠0）．
（1）试就实数a的不同取值，写出该函数的单调递增区间；
（2）已知当a＞0时，函数在（0，

6

）上单调递减，在(

6

，+∞)上单调递增，求a的值并写出函数的解析式；
（3）若函数f（x）在区间[-

6

6

，0)∪(0，

6

6

]内有反函数，试求出实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）讨论a，分为a＜0，0＜a≤1，a＞1，从而得到函数的单调区间；
（2）根据（1）中a＞1时的单调区间可知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a的值；
（3）欲使函数f（x）在区间[-

6

6

，0)∪(0，

6

6

]内有反函数即在该区间上单调，讨论a（a-1）的正负可求出所求．

解答：解：（1）①当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（-

a(a-1)

，0）及（0，

a(a-1)

），
②当0＜a≤1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0）及（0，+∞），
③当a＞1时，函数f（x）的单调递增区间为（-∞，-

a(a-1)

）及（

a(a-1)

，+∞）．
（2）由题设及（1）中③知

a(a-1)

=

6

且a＞1，解得a=3，
因此函数解析式为f（x）=

5 x

3

+

2 5

x

（x≠0）．                    
（3）1#当a（a-1）＞0即a＜0或a＞1时
由图象知

a(a-1)

≥

6

6

解得a∈（-∞，

3- 15

6

]∪[

3+ 15

6

，+∞）
2#当a=1时，函数为正比例函数，故在区间内存在反函数，所以a=1成立．
3#当a（a-1）＜0，得到

a(a-1)

＜

6

6

，从而得a∈（

3- 3

6

，

3+ 3

6

）
综上a∈∈（-∞，

3- 15

6

]∪（

3- 3

6

，

3+ 3

6

）∪{1}∪[

3+ 15

6

，+∞）

点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数的反函数，同时考查了不等式的解法和计算能力，以及分类讨论的数学思想，属于中档题．