Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足bcosC=（4a-c）cosB．
（I）求cosB；
（Ⅱ）若b=

34

，S_△ABC=

3 15

2

，求a，c的值．

Answer 1

考点：正弦定理

专题：解三角形

分析：（1）由正弦定理化简已知得sinBcosC=（4sinA-sinC）cosB，化简得sin（B+C）=sinA=4sinAcosB，由0＜A＜π，sinA≠0，即可求得cosB．
（2）由（1）可得sinB，由S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 15

2

，可解得ac，由余弦定理可解得：a²+b²=40．从而解得a，c的值．

解答： 解：（1）由正弦定理可得：sinBcosC=（4sinA-sinC）cosB，
化简可得：sinBcosC-sinCcosB，
可得：sin（B+C）=sinA=4sinAcosB，
因为：0＜A＜π，sinA≠0，
所以：cosB=

1

4

．
（2）∵sinB=

1-cos2B

=

15

4

，
∵S_△ABC=

1

2

acsinB=

3 15

2

，
∴可解得：ac=12，
∴由余弦定理可得：cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

1

4

=

a2+c2-34

2ac

．可解得：a²+b²=40．
∴可解得：a+c=8，从而解得：a=2或6，c=6或2．

点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，考查了两角和的正弦公式的应用，属于基本知识的考查．