题目内容
在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，
（Ⅰ）设bn=
，证明：数列{bn}是等差数列；
（Ⅱ）求数列{
}的前n项和Sn．
（Ⅰ）设bn=
| an |
| 2n-1 |
（Ⅱ）求数列{
| n2 |
| an |
分析：（I）要证明数列{bn}是等差数列，只要证明bn+1-bn=d（常数），结合已知递推公式可证
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=
，从而可求
，利用错位相减可求数列的和
（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=
| an |
| 2n-1 |
| n2 |
| an |
解答：（Ⅰ）证明：由an+1=2an+2n得bn+1=
=
=
+1=bn+1
又b1=a1=1，因此数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=
，
∴an=n•2n-1，
∴
=
则Sn=1+
+
+
+…+
，…(1)
Sn=
+
+
+
+…
+
，…(2)
（1）-（2）得
Sn=1+
+
+
+…+
-
．
=
-
=2-(2+n)
．
∴Sn=4-(2+n)
| an+1 |
| 2n |
| 2an+2n |
| 2n |
| an |
| 2n-1 |
又b1=a1=1，因此数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得bn=1+(n-1)•1=n=
| an |
| 2n-1 |
∴an=n•2n-1，
∴
| n2 |
| an |
| n |
| 2n-1 |
则Sn=1+
| 2 |
| 2 |
| 3 |
| 22 |
| 4 |
| 23 |
| n |
| 2n-1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 2 |
| 22 |
| 3 |
| 23 |
| 4 |
| 24 |
| n-1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
（1）-（2）得
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 23 |
| 1 |
| 2n-1 |
| n |
| 2n |
=
1•[1-(
| ||
1-
|
| n |
| 2n |
| 1 |
| 2n |
∴Sn=4-(2+n)
| 1 |
| 2n-1 |
点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等差数列，及等差数列的定义在证明中的应用，数列的错位相减求和方法的应用
练习册系列答案
相关题目
，并且对任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
（n∈N*）．
}的前n项和为Tn，证明：
．