Question

已知函数(为自然对数的底数，为常数）．对于函数，若存在常数，对于任意，不等式都成立，则称直线是函数的分界线．

（I）若，求的极值；

（II）讨论函数的单调性；

（III）设，试探究函数与函数是否存在“分界线”？若存在，求出分界线方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

解：（I）若，则，，

由得,又得； 得，

在单调递增，在单调递减；

在处取得极大值,无极小值．    

（II），

①当时，由得

由得

函数在区间上是增函数，在区间上是减函数：

②当时，对恒成立，此时函数是区间上的增函数；

③当时，由得

由得

函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．  

（III）若存在，则恒成立，

令，则，所以，  

因此：对恒成立，即对恒成立，

由得到，  现在只要判断是否恒成立，                       

设，则，

①当时，

②当时，  

所以，即恒成立，

所以函数与函数存在“分界线”，且方程为