Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，A₁A=AB=2．
（1）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（2）若四棱锥B-AA₁C₁D的体积为3，求二面角C-BC₁-D的正切值．

Answer 1

分析：（1）在平面BC₁D内找到一条直线与已知直线AB₁平行，根据线面平行的判定定理证明线面平行，而找平行的方法一般是找三角形的中位线或找平行四边形．
（2）根据题中的垂直关系表达出四棱锥的体积进而得到等式求出BC的数值，结合这题中的线面垂直关系作出二面角，再证明此角就是所求角然后求出即可．

解答：解：（1）证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B₁是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点．
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁．
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D．
（2）解：依题意知，AB=BB₁=2，
∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面AA₁C₁C，
∴平面ABC⊥平面AA₁C₁C，且平面ABC∩平面AA₁C₁C=AC．
作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA₁C₁C，
设BC=a，
在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

4+a2

，BE=

AB•BC

AC

=

2a

4+a2

，
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=

1

3

×

1

2

(A1C1+AD)•AA1•BE=

1

6

×

3

2

4+a2

×2×

2a

4+a2

=a．
依题意得，a=3，即BC=3．
∵AB⊥BC，AB⊥BB₁，BC∩BB₁=B，BC?平面BB₁C₁C，BB₁?平面BB₁C₁C，
∴AB⊥平面BB₁C₁C．
取BC的中点F，连接DF，则DF∥AB，且DF=

1

2

AB=1．
∴DF⊥平面BB₁C₁C．
作FG⊥BC₁，垂足为G，连接DG，
由于DF⊥BC₁，且DF∩FG=F，
∴BC₁⊥平面DFG．
∵DG?平面DFG，
∴BC₁⊥DG．
∴∠DGF为二面角C-BC₁-D的平面角．
由Rt△BGF～Rt△BCC₁，得

GF

CC1

=

BF

BC1

，
得GF=

BF•CC1

BC1

=

3 2 ×2

13

=

3 13

13

，
在Rt△DFG中，tan∠DGF=

DF

GF

=

13

3

．
∴二面角C-BC₁-D的正切值为

13

3

．

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构便于利用题中的线面、线线关系解决空间角、空间距离与几何体的体积等问题．