Question

已知向量

a

=(sin(

x

2

+

π

12

)，cos

x

2

)，

b

=(cos(

x

2

+

π

12

)，-cos

x

2

)，x∈[

π

2

，π]，函数f（x）=

a

•

b

．
（1）若cosx=-

3

5

，求函数f（x）的值；
（2）将函数f（x）的图象按向量

c

=（m，n）（0＜m＜π）平移，使得平移后的图象关于原点对称，求向量

c

．

Answer 1

分析：求出函数f（x）=

a

•

b

．的最简形式：
（1）根据x的范围，利用cosx=-

3

5

，求出sinx=

4

5

，得到函数f（x）的值．
（2）由图象变换得，平移后的函数为g(x)=

1

2

sin(x-

π

6

-m)+n-

1

2

，而平移后的图象关于原点对称，g（0）=0求出n，
推出m，求向量

c

．

解答：解：由题意，得f(x)=sin(

x

2

+

π

12

)cos(

x

2

+

π

12

)-cos2

x

2

=

1

2

sin(x+

π

6

)-

1

2

(1+cosx)
=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

1

2

(

3

2

sinx-

1

2

cosx)-

1

2

=

1

2

sin(x-

π

6

)-

1

2

.（5分）
（1）∵x∈[

π

2

，π]，cosx=-

3

5

，∴sinx=

4

5

，
∴f(x)=

3

4

sinx-

1

4

cosx-

1

2

=

3

5

-

7

20

.（7分）
（2）由图象变换得，平移后的函数为g(x)=

1

2

sin(x-

π

6

-m)+n-

1

2

，
而平移后的图象关于原点对称，
∴g(0)=0且n-

1

2

=0，（9分）
即sin(m+

π

6

)=0且n=

1

2

，∵0＜m＜π，∴m=

5

6

π，
即

c

=(

5

6

π，

1

2

)．

点评：本题考查平面向量数量积的运算，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换，向量间的变换，考查计算能力．