题目内容

已知向量
a
=(sinα，-
1
2
)，
b
=(1，2cosα），
a
•
b
=
1
5
，α∈(0，
π
2
)
（1）求sin2α及sinα的值；
（2）设函数f(x)=5sin(-2x+
π
2
+α)+2cos2x(x∈[
π
24
，
π
2
])，求x为何值时，f（x）取得最大值，最大值是多少，并求f（x）的单调增区间．
分析：（1）由题意可得，
a
•
b
=sinα-cosα=
1
5
，平方可求sinα-cosα，sin2α，进而可求sinα+cosα，从而可求sinα
（2）由题意可得f（x）=5cos（2x-α）+1+cos2x=4
2
sin（2x+
π
4
）+1，结合
π
24
≤x≤
π
2
可求函数的最大值，要使得函数y=f（x）单调递增，则-
1
2
π+2kπ≤2x+
π
4
≤ 2kπ+
1
2
π
结合x∈[
π
24
，
π
2
]可求
解答：解：（1）∵
a
•
b
=sinα-cosα=
1
5

∴（sinα-cosα）2=1-2inαcosα=1-sin2α=
1
25

∴sin2α=
24
25
（2分）
∵（sinα+cosα）2=1+sin2α=
49
25

∴sinα+cosα=
7
5

∴sinα=
3
5
，cosα=
4
5
（5分）
（2）∵f（x）=5cos（2x-α）+1+cos2x
=5（cos2xcosα+sin2xsinα）+cos2x+1
=5（
3
5
cos2x+
4
5
sin2x）+cos2x+1
=4cos2x+4sin2x+1
=4
2
sin（2x+
π
4
）+1（8分）
∵
π
24
≤x≤
π
2

∴
π
3
≤2x+
π
4
≤
5π
4

当x=
π
24
时，f(x)max=f(
π
24
)=1+2
6
（10分）
要使得函数y=f（x）单调递增
∴-
1
2
π+2kπ≤2x+
π
4
≤ 2kπ+
1
2
π
∴-
3π
8
+kπ≤x≤
π
8
+kπ（k∈Z）
∵x∈[
π
24
，
π
2
]
∴y=f（x）的单调递增区间为[
π
24
，
π
8
]（12分）
点评：本题主要考查了向量的数量积的基本运算，三角函数的二倍角公式、赋值角公式在三角函数化简中的应用，正弦函数的单调区间的求解，属于向量与三角的综合应用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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