Question

设双曲线4x²-y²=1的两条渐近线与直线x=

2

围成的三角形区域（包括边界）为D，P（x，y）为D内的一个动点，则目标函数z=

1

2

x-y的最小值为

-

3 2

2

．

Answer 1

分析：根据双曲线方程得出它的渐近线方程为y=±2x，由此作出两条渐近线与直线x=

2

围成的三角形区域，即如图的△AOB及其内部．再将目标函数z=

1

2

x-y对应的直线l进行平移，得当l经过点B时z达到最小值，由此即可得到z=

1

2

x-y的最小值．

解答：解：∵双曲线的4x²-y²=1，化成标准方程为

x2

1 4

-y2=1
∴该双曲线的渐近线方程为y=±2x
因此，作出两条渐近线与直线x=

2

围成的三角形区域，如图所示
得到如图的△AOB及其内部，
其中A（

2

，-2

2

），B（

2

，2

2

），O为坐标原点
设目标函数z=F（x，y）=

1

2

x-y，对应直线l
将直线l进行平移，可得当l经过点B（

2

，2

2

）时，z达到最小值
∴z_min=F（

2

，2

2

）=

1

2

×

2

-2

2

=-

3 2

2

故答案为：-

3 2

2

点评：本题给出双曲线的渐近线与直线x=

2

围成的三角形区域，求目标函数z=

1

2

x-y的最小值．着重考查了双曲线的简单几何性质与简单的线性规划等知识，属于基础题．