Question

已知定义在实数集R上的奇函数f（x）有最小正周期2，且当x∈（0，1）时，．
（Ⅰ）求函数f（x）在（-1，1）上的解析式；
（Ⅱ）判断f（x）在（0，1）上的单调性；
（Ⅲ）当λ取何值时，方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解？

Answer 1

【答案】分析：（I）由f（x）是x∈R上的奇函数，得f（0）=0．再由最小正周期为2，得到（1）和f（-1）的值．然后求（-1，0）上的解析式，通过在（-1，0）上取变量，转化到（0，1）上，应用其解析式求解．
（II）用定义，先任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号．
（III）根据题意，求得f（x）在（-1，1）上的值域即可．
解答：（Ⅰ）解：∵f（x）是x∈R上的奇函数，∴f（0）=0．---------（1分）
设x∈（-1，0），则-x∈（0，1），
==-f（x）
∴---------（2分）
∴---------（3分）
（Ⅱ）证明：设0＜x₁＜x₂＜1，
则，------（4分）
∵0＜x₁＜x₂＜1，
∴，，---------（5分）
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）在（0，1）上为减函数．---------（6分）
（Ⅲ）解：∵f（x）在（0，1）上为减函数，
∴f（1）＜f（x）＜f（0）即---------（7分）
同理，f（x）在（-1，0）上时，f（x）---------（8分）
又f（0）=0
当或或λ=0时方程f（x）=λ在（-1，1）上有实数解．-----------------（10分）
点评：本题主要考查如何利用求对称区间上的解析式，特别注意端点问题，还考查了用定义证明单调性求分段函数值域问题．