Question

证明方程2^x=3有且只有一个根.

Answer 1

证明:∵2^x=3,∴x=Log₂3.这说明方程有一个根.?

下面用反证法证明方程2^x=3的根是唯一的.?

假设方程2^x=3有两个根b₁、b₂(b₁≠b₂),则=3,=3.两式相除,得=1.?

如果b₁-b₂＞0,则＞1,这与=1相矛盾;??

如果b₁-b₂＜0,则＜1,这也与=1相矛盾.?

因此b₁-b₂=0,则b₁=b_2.

这就同b₁≠b₂相矛盾.?

如果方程的根多于两个,同样可推出矛盾.?

故2^x=3有且只有一个根.

点评:“有且只有”表示“存在且唯一”.因此,在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑,而证明唯一性时,通常使用反证法.