题目内容

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ．设 $数学公式$
（1）求证：数列{b_n}是等比数列
（2）求数列{a_n}的前n项的和
（3）设 $数学公式$ ，求证：T_2n＜3．

证明：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，
得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
∴数列{b_n}是首项为 $\text{[math]}$ ，公比为-1的等比数列．
解：（2）由 $\text{[math]}$ ，
得 $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
S_n=[3+3²+3³+…+3ⁿ+（-1）⁰+（-1）¹+（-1）¹+（-1）²+…+（-1）^n-1]
= $\text{[math]}$ ．
证明：（3） $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
∵3²ⁿ-1＞3^2n-1，（n∈N^*），
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
=3（1- $\text{[math]}$ ）＜3．
分析：（1）由a₁=1，a_n+a_n+1=3ⁿ，得 $\text{[math]}$ ．由此能够证明数列{b_n}是等比数列．
（2）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，所以a_n= $\text{[math]}$ ，由此能求出数列{a_n}的前n项的和．
（3） $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，由此入手能够证明T_2n＜3．
点评：本题考查数列和不等式的综合应用，综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意培养计算能力和转化能力．