Question

22.已知函数.

（I）证明：当时，在上是增函数；

（II）对于给定的闭区间，试说明存在实数       ，当时，在闭区间上是减函数；

（III）证明：.

Answer 1

（I）证明：由题设得g(x)=e^2x-t(e^x+1)+x,(x)=2e^2x-te^x+1.

又由2e^x+e^-x≥2，且t＜2得t＜2e^x+e^-x,即

（x）=2e^2x-te^x+1＞0.

由此可知，g(x)为R上的增函数.                          

（II）证法一：因为(x)＜0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k,使得t＞k时，在闭区间[a,b]上成立即可.

因为y=2e^x+e^-x在闭区间[a,b]上连续，故在闭区间[a,b]上有最大值，设其为k,于是在t＞k时，（x）＜0在闭区间[a,b]上恒成立，即g(x)在闭区间[a,b]上为减函数.         

证法二：因为（x）＜0是g(x)为减函数的充分条件，所以只要找到实数k,使得t＞k时，

(x)=2e^2x-te^x+1＜0,

在闭区间[a,b]上成立即可.

令m=e^x,则（x）＜0(x∈[a,b])当且仅当

2m²-tm+1＜0(m∈[e^a,e^b]).

而上式成立只需要

成立.取2e^a+e^-a与2e^b+e^-b中较大者记为k,易知当t＞k, (x)＜0在闭区间[a,b]上恒成立,即g(x)在闭区间[a,b]上为减函数.                                                                          

（III）证法一：设F（t）=2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²+1,即

F(t)=2

易得

F（t）≥（e^x-x）²+1.                                                                           

令H(x)=e^x-x,则（x）=e^x-1,易知(0)=0.当x＞0时.（x）＞0;当x＜0时，(x)＜0.故当x=0时，H(x)取最小值,H(0)=1.所以

于是对任意x、t，有F(t)≥，即f(x) ≥.                                           

证法二：设F（t）=2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²+1,

F(x)≥当且仅当

2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²-≥0.

只需证明

4(e^x+x)²-2×4(e^2x-x²-)≤0,                                                                      

即

（e^x-x）²≥1.

以下同证法一                                                                                          

证法三：设F（t）=2t²-2(e^x+x)t+e^2x+x²+1,则

F′（t）=4t-2(e^x+x).

易得F′（）=0。当t＞时,F′(t)＞0;当t＜时，F′(t)＜0,故当t=时，F(t)取最小值

F(t)≥( e^x-x)²+1.                                                                                   

以下同证法一.                                                                                         

证法四：f(x)=(e^x-t)²+(x-t)²+1.

设点A、B的坐标分别为（x,e^x）、(t,t),易知点B在直线y=x上，令点A到直线y=x的距离为d,则

f(x)=|AB|²+1≥d²+1=(e^x-x)²+1.                                                               

以下同证法一.