Question

已知函数f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

，（x∈R），
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的单调区间；
（3）若x∈[0，

π

2

]，求f（x）的最大值、最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和的正弦函数，化简函数为一个角的一个三角函数的形式，即可求解周期．
（2）利用正弦函数的单调区间求出函数的单调区间即可．
（3）通过x∈[0，

π

2

]，求出2x-

π

3

的范围，然后求解函数的最值．

解答：解：（1）f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

=

5

2

sin2x-

5 3

2

（1+cos2x）+

5 3

2

=5sin（2x-

π

3

）…（4分）∴T=π．----（5分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒在[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z），所以函数在[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]（k∈Z）上单调增函数，----（7分）
在[kπ+

5π

12

，kπ+

11

12

π]（k∈Z）上单调减函数．----（9分）
（3）当x∈[0，

π

2

]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]，
当x=0时f(x)min=-

5 3

2

；当x=

5π

12

时，f(x)max=5----（13分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的化简求值，函数的周期，单调区间的求法，最值的应用，考查计算能力．