Question

已知椭圆C的方程为x2＋＝1，点P(a，b)的坐标满足a2＋≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点． (1) 求点Q的轨迹方程 (2) 求点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数

Answer 1

答案：
解析：

(1)

解析：设点A、B的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)，点Q的坐标为Q(x，y)． 　　当x1≠x2时，设直线斜率为k，则l的方程为y＝k(x－a)＋b． 　　由已知＋＝1　　①， 　　＋＝1　　　　　②， 　　y1＝k(x1－a)＋b　　　 ③ 　　y2＝k(x2－a)＋b　　　 ④， 　　①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，　　⑤ 　　③＋④得y1＋y2＝k(x1＋x2)－2ka＋2b．　　　　　　　⑥ 　　由⑤、⑥及x＝，k＝，得点Q的坐标满足方程2x2＋y2－2ax－by＝0．　　⑦ 　　当x1＝x2时，k不存在，此时l平行于y轴，因此AB的中点Q一定落在x轴，即Q的坐标为(a，0)，显然点Q的坐标满足方程⑦． 　　综上所述．点Q的坐标满足方程2x2＋y2－2ax－by＝0． 　　设方程⑦所表示的曲线为l， 　　则由　　得(2a2＋b2)x2－4ax＋2－b2＝0． 　　因为△＝8b2(a2＋－1)，由已知得a2＋≤1， 　　所以当a2＋＝1时，△＝0，曲线l与椭圆C有且只有一个交点P(a，b)； 　　当a2＋＜1时，△＜0，曲线l与椭圆C没有交点． 　　因为点(0，0)在椭圆C内．又在曲线l上，所以曲线l在椭圆C内．故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2ax－by＝0．

(2)

由得曲线l与y轴交于点(0，0)、(0，b)； 　　由得曲线l与x轴交于点(0，0)、(a，0)． 　　当a＝0，b＝0，即点P(a，b)为原点时，(a，0)、(0，b)与(0，0)重合，曲线l与x轴只有一个交点(0，0)； 　　当a＝0且0＜｜b｜≤时，即点P(a，b)不在椭圆C外且在除去原点的y轴上时，点(a，0)与(0，0)重合，曲线l与坐标轴有两个交点(0，b)与(0，0)； 　　同理，当b＝0且0＜｜a｜≤1时，即点P(a，b)不在椭圆C外且在除去原点的x轴上时，曲线l与坐标轴有两个交点(a，0)与(0，0)； 　　当0＜｜a｜＜1且0＜｜b｜＜时．即点P(a，b)在椭圆C内且不在坐标轴上时，曲线l与坐标轴有三个交点(a，0)、(0，b)与(0，0)． 　　点评：本题考查求点的轨迹方程，点与椭圆的位置关系，直线与椭圆相交等知识，考查分类讨论的思想方法，以及综合运用知识解题的能力．此题运算量大，涉及知识点较多，需要较高的运算能力和逻辑推理能力．