题目内容
已知椭圆C的方程为
+
=1(a＞b＞0)，椭圆C的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），斜率为k（k≠0）的直线l经过点F2，交椭圆于A、B两点，且△ABF1的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点E为x轴上一点，
=λ
（λ∈R），若
⊥(
+λ
)，求点E的坐标．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设点E为x轴上一点，
| AF2 |
| F2B |
| F1F2 |
| EA |
| BE |
分析：（Ⅰ）由题意可得|AF1|+|BF1|+|AB|=8，结合|AB|=AF2|+|BF2|，可求|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|，根据椭圆的定义可求a，然后由c得值班可求b，进而可求椭圆的方程
（Ⅱ）设点E的（m，0），由已知可得直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程
+
=1整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个实根，结合根与系数得关系及
=λ
，
⊥(
+λ
)，代入可求点E的坐标
（Ⅱ）设点E的（m，0），由已知可得直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
| AF2 |
| F2B |
| F1F2 |
| EA |
| BE |
解答：解：（Ⅰ）依题意，A、B不与椭圆C长轴两端点重合，因为△ABF1的周长为8，
即|AF1|+|BF1|+|AB|=8，又|AB|=AF2|+|BF2|，
所以|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8．
根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
所以，4a=8，a=2．…（2分）
又因为 c=1，
所以，b=
．
所以椭圆C的方程为
+
=1．（4分）
（Ⅱ）设点E的坐标为（m，0），由已知可得直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程
+
=1
消去y整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0（*）（6分）
△=64k4-4（3+4k2）（4k2-12）=144（k2+1）＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个实根，
由根与系数的关系可知：
（8分）
=(1-x1，-y1），
=(x2-1，y2），
=(x1-m，y1），
=(m-x2，-y2）
由已知
=λ
，得1-x1=λ（x2-1）．
由已知x2≠1，则λ=
（9分）
+λ
=(x1-m+λ(m-x2)，y1-λy2）x1-m+λ（m-x2）=x1-m+
=
=
=
．
因为
•(
+λ
）=0
=（2，0），
+λ
=(x1-m+λ(m-x2)，y1-λy2）
∴2（x1-m+λ（m-x2））=0
∴
-
+2m=0
化简得：6m-24=0，m=4，即E（4，0）．（12分）
即|AF1|+|BF1|+|AB|=8，又|AB|=AF2|+|BF2|，
所以|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=8．
根据椭圆的定义，得|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a，
所以，4a=8，a=2．…（2分）
又因为 c=1，
所以，b=
| 3 |
所以椭圆C的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（Ⅱ）设点E的坐标为（m，0），由已知可得直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
消去y整理得：（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0（*）（6分）
△=64k4-4（3+4k2）（4k2-12）=144（k2+1）＞0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程（*）的两个实根，
由根与系数的关系可知：
|
|
| AF2 |
| F2B |
| EA |
| BE |
由已知
| AF2 |
| F2B |
由已知x2≠1，则λ=
| 1-x1 |
| x2-1 |
| EA |
| BE |
| (1-x1)(m-x2) |
| x2-1 |
| (x1-m)(x2-1)+(1-x1)(m-x2) |
| x2-1 |
=
| 2x1x2-(m+1)(x1+x2)+2m |
| x2-1 |
| ||||
| x2-1 |
因为
| F1F2 |
| EA |
| BE |
| F1F2 |
| EA |
| BE |
∴2（x1-m+λ（m-x2））=0
∴
| 2(4k2-12) |
| 3+4k2 |
| 8(m+1)k2 |
| 3+4k2 |
化简得：6m-24=0，m=4，即E（4，0）．（12分）
点评：本题主要考查了利用椭圆的定义求解椭圆的方程，直线与椭圆的相交关系的应用，方程的根与系数的关系的应用，考查了考生的基本运算推理的能力．
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