Question

设函数．
（1）求的单调区间；
（2）当时，若方程在上有两个实数解，求实数的取值范围；
（3）证明：当时，．

Answer 1

（1）时，在上是增函数；时，在上单调递增，在上单调递减.（2），（3）详见解析

试题分析：（1）求函数单调区间，首先明确定义域，再求导，由于含有参数，需分类讨论根的情况. 时，，所以在上是增函数．当时，由，所以在上单调递增，在上单调递减.（2）本题考查函数与方程思想，实际研究直线与函数图像交点有两个的情况，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，且，所以当时，方程有两解．（3）本题关键在于构造函数，首先将两变量分离，这要用到取对数，即因此只需证，即证为单调减函数，可利用导数，再结合（1）的结论，可证.
试题解析：（1）．
①时，，∴在上是增函数．         1分
②当时，由，由，
∴在上单调递增，在上单调递减.           4分
（2）当时，由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，
又，              6分
∴．
∴当时，方程有两解．            8分
（3）∵.∴要证：只需证
只需证：．
设，                               10分
则．
由（1）知在单调递减，           12分
∴，即是减函数，而．
∴，故原不等式成立．                         14分