Question

已知，函数.
（1）如果时，恒成立，求m的取值范围；
（2）当时，求证：.

Answer 1

(1),(2)详见解析.

试题分析：(1)转化为恒成立，求的最大值；通过导数确定函数的单调性，利用单调性求出函数的最大值，;令,通过求其导数，通过导数的正负，判定函数的单调性，从而求出其最大值;
(2)首先利用分析法将所要证不等式，逐步分析，找到证明其成立的充分条件，即，设函数,利用导数找到其最小值，证明其最小值也大于0，则不等式成立.中档偏难.
试题解析：（1），，.
令（），，递减，
，∴m的取值范围是.      5分
（2）证明：当时，的定义域，
∴，要证，只需证
又∵，∴只需证，      8分
即证
∵递增，，
∴必有，使，即，
且在上，；在上，，
∴
∴，即      12分