Question

（本题满分14分）如图，是等腰直角三角形，，，分别为的中点，沿将折起，得到如图所示的四棱锥．

（Ⅰ）在棱上找一点，使∥平面；

（Ⅱ）当四棱锥的体积取最大值时，求平面与平面夹角的余弦值．

 

Answer 1

（Ⅰ）点为棱的中点；（Ⅱ）平面与平面夹角的余弦值为．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）首先作出辅助线即取的中点，连接，由中位线性质知，∥，

，且∥，．进而证明四边形是平行四边形，即∥．于是即可得出结论；（Ⅱ）首先运用线面关系证明底面，即就是四棱锥的高，然后分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，最后由二面角的平面角与法向量夹角之间的关系即可求出所求结果.

试题解析：（Ⅰ）点为棱的中点．证明如下：取的中点，连接，则由中位线定

理，∥，，且∥，．所以∥，，从而四边形是平行四边形，∥．又面内，平面，故点为棱的中点时，∥平面．

（Ⅱ）在平面内作于点，平面，

又，故⊥底面，即就是四棱锥的高．

由知，点和重合时，四棱锥的体积取最大值．

分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，．

设平面的法向量为，

由

得，即，

可取．

同理可以求得平面的一个法向量．

故，

故平面与平面夹角的余弦值为．

考点：线面平行的判定；线面垂直的判定；空间向量在立体几何中的应用.