Question

已知幂函数，且f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

(Ⅰ)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；

(Ⅱ)若F(x)＝2f(x)－4x＋3在区间[2a，a＋1上不单调，求实数a的取值范围；

(Ⅲ)试判断是否存在正数q，使函数在区间[－1，2]上的值域为．若存在，求出q的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)由题意知　解得 　　又　∴或，分别代入原函数得． 　　(Ⅱ)由已知得． 　　要使函数不单调，则，则． 　　(Ⅲ)由已知， 　　法一：假设存在这样的正数符合题意，则函数的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为 　　因而，函数在上的最小值只能在或处取得 　　又，从而必有 　　解得 　　 　　法二：由(1)知，假设存在这样的正数，符合题意，则函数 的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为， 　　(1)当，且，即时，在上单调递减， 　　 　　得或(舍去)． 　　所以，此时，，符合题意 　　综上所述，存在正数，使函数在区间上的值域为．