Question

已知幂函数f（x）=（m²-m-1）x^3-2m在区间（0，+∞）上单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数y=x²+（a-2）x+3是偶函数，且函数g(x)=

1

f2(x)

-

ab

f(x)

+5的定义域和值域均是[1，b]，求实数a、b的值．

Answer 1

分析：（1）根据幂函数的定义和单调性即可求出其解析式；
（2）利用偶函数先求出a的值，进而求出g（x）的表达式，再根据g（x）的单调性和定义域和值域均是[1，b]，求出即可．

解答：解：（1）∵幂函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∴

m2-m-1=1 3-2m＜0

，∴

m=2或m=-1 m＞ 3 2

，∴m=2，∴f（x）=x^-1；
（2）∵y=x²+（a-2）x+3是偶函数，∴a-2=0，即a=2，又∵f（x）=x^-1，
∴g(x)=

1

f2(x)

-

ab

f(x)

+5=x²-2bx+5=（x-b）²+5-b²，又∵b＞1，
∴g（x）在[1，b]上是减函数，
∴

g(1)=b g(b)=1

，即

1-2b+5=b b2-2b2+5=1

，解得b=2，
综上知，a=b=2．

点评：熟练掌握函数的奇偶性和单调性是解题的关键．