题目内容

已知向量a=(sin
x
2
，
3
cos
x
2
)，b=(cos
x
2
，cos
x
2
)，设f（x）=a•b．
（Ⅰ）求函数f（x）在[0，2π]上的零点；
（Ⅱ）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(A)=
3
，b=2，sinA=2sinC，求边c的值．
分析：（Ⅰ）利用两个向量的数量积公式以及三角公式化简函数f（x），利用函数零点的定义求得x=π或x=
4π
3
．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
π
3
)+
3
2
=
3
，A∈（0，π），得A=
π
3
．由正弦定理得a=2c，
 由a2=b2+c2-2bccosA 求出c．
解答：解：（Ⅰ）f(x)=a•b=sin
x
2
•cos
x
2
+
3
cos2
x
2
=
1
2
sinx+
3
2
cosx+
3
2
=sin(x+
π
3
)+
3
2
．
由sin(x+
π
3
)+
3
2
=0，得，x+
π
3
=2kπ+
4π
3
，或x+
π
3
=2kπ-
π
3
，k∈Z
由x∈[0，2π]，得x=π或x=
4π
3
．故函数f（x）的零点为 π 和
4π
3
．
（Ⅱ）由f(A)=sin(A+
π
3
)+
3
2
=
3
，A∈（0，π），得A=
π
3
．
由sinA=2sinC得 a=2c．又b=2，由a2=b2+c2-2bccosA，得4c2=22+c2-2•2ccos
π
3
，
即  3c2+2c-4=0，∵c＞0，∴c=
13
-1
3
．
点评：本题考查两个向量的数量积的运算，函数的零点的概念，同角三角函数的基本关系的应用，
正弦定理、余弦定理的应用．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
精英家教网

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网