Question

【题目】已知椭圆．

（1）若过点的直线l与椭圆C恒有公共点，求实数a的取值范围；

（2）若存在以点B（0，2）为圆心的圆与椭圆C有四个公共点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)．(2)．

【解析】

（1）点在椭圆上或椭圆内，解不等式即得；

（2）要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，考虑到在轴上，只要在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B点的距离相等，设动点Q（x0，y0）在椭圆上，，

令，只要f（y0）在y0∈（﹣1，1）上不单调即可．

（1）要使得直线l与椭圆C恒有公共点，则点要在椭圆上或者椭圆内，

∴，∴．

（2）法一：要使得圆和椭圆有四个公共点，利用对称性，

所以在椭圆的左半边（或右半边）存在不同两点到B点的距离相等，

设动点Q（x0，y0）在椭圆上，，

令，使得f（y0）在y0∈（﹣1，1）上不单调，

∴，

∴．

法二：设圆B：x2+（y﹣2）2＝r2，，

整理得：（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0，

所以存在r，使得方程（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2＝0在（﹣1，1）上有两解，

令函数f（y）＝（1﹣a2）y2﹣4y+a2+4﹣r2，对称轴，

只需即可，

∴．