Question

【题目】已知函数 (为实常数)

（1）求函数的单调区间；

（2）若，求不等式的解集；

（3）若存在两个不相等的正数、满足，求证：.

Answer 1

【答案】（I）当时，的单调递增区间为，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；（II）；（III）证明见解析.

【解析】

试题（I）首先确定函数的定义域，再利用求导法则对其求导并结合对的讨论，即可得到函数的单调区间；（II）根据函数的定义域先确定自变量的取值范围，再通过构造函数并判断其单调性，进而可得出所求不等式的解集；（III）先对进行讨论并结合（I）的结论及题目条件即可证得所需结论.

试题解析：（I）的定义域为，

（1）当时，恒有，故在上单调递增；

（2）当时，由得，故在上单调递增，在上单调递减

综上（1）（2）可知：当时的单调递增区间为；

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为.

（II）的定义域为，所以，且，而，.

设

，

，且当且仅当时取等号，

所以在上单调递增，又因为时，

所以当时，，当时，.

故的解集为.

（III）由（I）知时，在上单调递增，若，

则不合题意；

故，而在上单调递增，在上单调递减，

若存在两个不相等的正数满足，则必有一个在上，另一个在，不妨设，

则.

又由（II）知时，，即，

所以.

因为，所以，

又因为在上单调递减，所以，

即