Question

【题目】已知函数，，.

（1）当时，求函数的极值；

（2）若在区间上存在不相等的实数，使得成立，求的取值范围；

（3）设的图象为，的图象为，若直线与分别交于，问是否存在整数，使在处的切线与在处的切线互相平行，若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）极大值为，无极小值；（2）；（3）.

【解析】

（1）对函数进行求导，并求出方程的根为，判断为函数的极大值点，再代入求极大值；

（2）问题转化成函数在区间存在极值点；

（3）根据两条切线互相平行，得到斜率相等，从而构造出的方程，再从方程中把分离出来，构造关于的函数，研究函数的值域，得到的取值范围后，再根据为整数，求得的值.

（1）当时，，，

当时，得，当时，得，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，无极小值.

（2）令，则

，

由题意知在区间存在极值点，所以在有解，

所以在有解，

令，则，

当时，恒成立，所以在单调递增，且，

所以.

（3），则，

，则，

设，，

在点处的切线的斜率，在点处的切线的斜率，

假设存在两切线平行，所以，即在有解，

所以在有解，令，则，，

当时，得；当时，得，

所以在单调递增，在单调递减，

所以，

所以在恒成立，所以在单调递减，

所以，则，又为整数，

所以或.