Question

14．求函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-2x}}$的单调区间和值域．

Answer 1

分析 确定函数的定义域，再分解成内外函数，即可求函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-2x}}$的单调区间和值域．

解答 解：由x²-2x≥0，可得函数的定义域为{x|x≤0或x≥2}．
令t=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$=$\sqrt{（x-1）^{2}-1}$，则y=$（\frac{1}{2}）^{t}$在定义域内单调递减，
∴函数y=（$\frac{1}{2}$）${\;}^{\sqrt{{x}^{2}-2x}}$的单调增区间是（-∞，0]，单调减区间是[2，+∞），
由t=$\sqrt{{x}^{2}-2x}$=$\sqrt{（x-1）^{2}-1}$≥0，则y=$（\frac{1}{2}）^{t}$∈（0，1]，
∴函数的值域为（0，1]．

点评 本题考查复合函数的单调性与值域，考查学生的计算能力，忽视函数的定义域易致错．