Question

已知椭圆

y2

a2

+

x2

b2

=1 (a＞b＞0)的离心率e满足3， 

1

e

， 

4

9

成等比数列，且椭圆上的点到焦点的最短距离为2-

3

．过点（2，0）作直线l交椭圆于点A，B．
（1）若AB的中点C在y=4x（x≠0）上，求直线l的方程；
（2）设椭圆中心为，问是否存在直线l，使得的面积满足2S_△AOB=|OA|•|OB|？若存在，求出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的几何性质及等比数列得出关于a，c的方程，解得a，c的值从而求出椭圆的方程．再结合点差法求直线l的斜率，从而得出直线l的方程；
（2）设直线l的方程为y=k（x-2），代入椭圆方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用条件等式即可求得k值，从而解决问题．

解答：解：（1）

e2= c2 a2 = 3 4 a-c=2- 3

…（2分），
∴

a=2 c= 3

椭圆方程：

y2

4

+x2=1…（4分）
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点为C（x₀，y₀），
则有：

y 2 1 4 + x 2 1 =1 y 2 2 4 + x 2 2 =1

⇒

(y1-y2)(y1+y2)

4

+(x1-x2)(x1+x2)=0
⇒

x0

1

+

y0

4

×k=0⇒k=-

4x0

y0

=-1
∴直线l的方程为y=-x+2…（6分），经检验y=-x+2适合题意．…（6分）
（2）设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则由题意可设直线l的方程为y=k（x-2）
代入椭圆方程可得：

x1+x2= 4k2 k2+4 x1•x2= 4k2-4 k2+4

…（9分）
2S_△AOB=|OA|•|OB|⇒x₁x₂+y₁y₂=0⇒（k²+1）x₁x₂-2k²（x₁+x₂）+4k²=0，…（11分），
经检验y=±

1

2

(x-2)适合题意…（12分）

点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于基础题．