题目内容

若关于x的方程x²-ax+1=0在 $数学公式$ 上有实数根，则实数a的取值范围是________．

$\text{[math]}$
分析：由题意可得判别式△=a²-4≥0，解得实数a的取值范围，在此条件下，讨论①关于x的方程x²-ax+1=0在 $\text{[math]}$ 上只有一个实数根时，求出a的取值范围；②当关于x的方程x²-ax+1=0在 $\text{[math]}$ 有2个实数根时，求出a的取值范围，③当关于x的方程x²-ax+1=0的一个根在区间的端点 $\text{[math]}$ 或3时，经检验，f（ $\text{[math]}$ ）=0满足条件，求出此时a的值．再把实数a的取值范围取并集即得所求．
解答：由题意可得判别式△=a²-4≥0，解得 a≥2，或a≤-2．令x²-ax+1=f（x），
①当关于x的方程x²-ax+1=0在 $\text{[math]}$ 上只有一个实数根时，
f（ $\text{[math]}$ ）f（3）＜0，即（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ a）（10-3a）＜0，解得 $\text{[math]}$ ＞a＞ $\text{[math]}$ ．
故这种情况下实数a的取值范围是（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
②当关于x的方程x²-ax+1=0在 $\text{[math]}$ 有2个实数根时，f（ $\text{[math]}$ ）＞0，且f（3）＞0， $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ ＜3
即（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ a）＞0，且（10-3a）＞0，1＜a＜6，解得 1＜a＜ $\text{[math]}$ ．
故这种情况下实数a的取值范围是[2， $\text{[math]}$ ）．
③当关于x的方程x²-ax+1=0的一个根在区间的端点 $\text{[math]}$ 或3时，经检验，f（ $\text{[math]}$ ）=0满足条件，此时a= $\text{[math]}$ ．
综上，实数a的取值范围是 $\text{[math]}$ ，
故答案为 $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查一元二次方程的根与系数的关系，一元二次不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．