Question

已知f(x)=

1+x2

，a≠b，求证：|f（a）-f（b）|＜|a-b|．

Answer 1

分析：不等式的左边化简为

|a-b||a+b|

1+a2 + 1+b2

，利用|a+b|≤|a|+|b|和

1+a2

 +

1+b2

≥

a2

+

b2

，
即可证得不等式成立．

解答：解：∵|f（a）-f（b）|=|

1+a2

-

1+b2

|=

|a2-b2|

1+a2 + 1+b2

=

|a-b||a+b|

1+a2 + 1+b2

≤

|a-b|(|a|+|b|)

1+a2 + 1+b2

　　　　　　　　　　　　　
＜

|a-b|(|a|+|b|)

a2 + b2

=|a-b|．
∴：|f（a）-f（b）|＜|a-b|成立．

点评：本题考查用放缩法证明不等式，绝对值不等式的性质，将不等式进行放缩是解题的难点．