Question

已知数列满足递推式：．
(Ⅰ)若，求与的递推关系（用表示）；
(Ⅱ)求证：．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.

试题分析：（Ⅰ）要得与的递推关系，首先找到与的递推关系.由，
代入与的递推关系便可得与的递推关系．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

数列中涉及前项和的不等式的证明，一般有两个大的方向，一种是先求和，后放缩；一种是先放缩，后求和.在本题中显然不可能先求和.所以选择先放缩后求和的方法.本题中还是一个有绝对值符号的式子，所以还应去掉绝对值符号.在去绝对值符号时，需要对分奇数与偶数讨论：，注意这里的分母，一个是加1，一个是减1，这种情况下，不能单独放缩，而是将两项相加后再放缩.
，这样再分是奇数和偶数，就可使问题得证.
试题解析：（Ⅰ）…………………①
代入①式得，
即．
（Ⅱ）.
对分奇数与偶数讨论：，则
，则
；
又
．
综上所述，原不等式成立．