Question

【题目】设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）= ，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当x＞1时，g（x）＞0；
（3）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣ = （x＞0），

当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；

当a＞0时，由f′（x）=0，得x= = ，

∴当x∈（0， ）时，f′（x）＜0，当x∈（ ，+∞）时，f′（x）＞0，

则f（x）在（0， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数；

综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0， ）上为减函数，在（ ，+∞）上为增函数；

（2）

证明：要证g（x）＞0（x＞1），即 ＞0，

即证 ，也就是证 ，

令h（x）= ，则h′（x）= ，

∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，

即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；

（3）

解：由f（x）＞g（x），得 ，

设t（x）= ，

由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，

∵t（1）=0，

∴有t′（x）=2ax = ≥0在（1，+∞）内恒成立，

令φ（x）= ，

则φ′（x）= = ，

当x≥2时，φ′（x）＞0，

令h（x）= ，h′（x）= ，函数在[1，2）上单调递增，∴h（x）min=h（1）=﹣1．

又2a≥1，e1﹣x＞0，∴1＜x＜2，φ′（x）＞0，

综上所述，x＞1，φ′（x）＞0，φ（x）在区间（1，+∞）单调递增，

∴t′（x）＞t′（1）≥0，即t（x）在区间（1，+∞）单调递增，

∴a≥ ．

【解析】（1）求导数，分类讨论，即可讨论f（x）的单调性；
（2）要证g（x）＞0（x＞1），即 ﹣ ＞0，即证 ，也就是证 ；
（3）由f（x）＞g（x），得 ，设t（x）= ，由题意知，t（x）＞0在（1，+∞）内恒成立，再构造函数，求导数，即可确定a的取值范围；
本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，不等式的证明，考查恒成立成立问题，正确构造函数，求导数是关键．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的奇偶性的相关知识，掌握偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称，以及对利用导数研究函数的单调性的理解，了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．